Georg Cantor(1845 — 1918)
Georg Cantor
Empire allemand, Reich allemand
8 min de lecture
Mathématicien allemand (1845-1918), fondateur de la théorie des ensembles. Il a démontré l'existence de plusieurs tailles d'infini et introduit les nombres transfinis, révolutionnant les fondements des mathématiques.
Questions fréquentes
Citations célèbres
« L'essence des mathématiques réside dans leur liberté. »
« Je le vois, mais je ne le crois pas. »
Faits marquants
- 1845 : Naissance à Saint-Pétersbourg
- 1874 : Publication du premier article fondateur de la théorie des ensembles
- 1878 : Démonstration que l'infini dénombrable et l'infini continu ont des tailles différentes
- 1883 : Introduction des nombres transfinis et de l'arithmétique des infinis
- 1918 : Mort à Halle, après de nombreuses hospitalisations dues à la dépression
Œuvres & réalisations
Premier article fondateur de la théorie des ensembles : Cantor y démontre que les nombres réels ne peuvent pas être mis en correspondance biunivoque avec les entiers naturels, prouvant l'existence de différentes tailles d'infini.
Série d'articles développant progressivement la théorie des ensembles, introduisant les nombres ordinaux transfinis et les concepts de cardinalité, constituant le cœur de l'œuvre cantorienne.
Exposé systématique et philosophiquement défendu de la théorie des ensembles et des nombres transfinis ; Cantor y argumente que l'infini actuel est mathématiquement légitime, contre la tradition aristotélicienne.
Démonstration élégante et générale que l'ensemble des parties d'un ensemble est toujours de cardinalité strictement supérieure à cet ensemble, impliquant une hiérarchie infinie de tailles d'infini.
Synthèse définitive en deux parties de la théorie des ensembles, exposant les nombres cardinaux et ordinaux transfinis dans leur cadre arithmétique complet ; traduction en plusieurs langues, diffusion internationale.
Anecdotes
Georg Cantor a démontré en 1874 qu'il existe plusieurs tailles d'infini, un résultat si troublant que même ses collègues mathématiciens refusaient d'y croire. Pour prouver que les nombres réels sont 'plus nombreux' que les entiers, il inventa l'argument diagonal : une méthode élégante qui consiste à construire un nombre réel qui diffère de tous les autres sur au moins un chiffre décimal, prouvant ainsi qu'aucune liste ne peut les contenir tous.
Le mathématicien Leopold Kronecker, figure dominante de l'époque, mena une campagne acharnée contre Cantor, le traitant de 'corrupteur de la jeunesse' et déclarant que 'Dieu a créé les entiers, tout le reste est l'œuvre de l'homme'. Cette hostilité répétée contribua grandement aux dépressions sévères dont souffrit Cantor tout au long de sa vie, l'obligeant à séjourner plusieurs fois dans des sanatoriums.
Cantor entretenait une correspondance fascinante avec des théologiens catholiques, notamment avec le cardinal Johannes Frantz. Il craignait que sa théorie de l'infini ne contredise la théologie chrétienne. Le pape Léon XIII le rassura indirectement par l'intermédiaire de cardinaux : les infinis mathématiques de Cantor n'empiétaient pas sur l'Infini absolu de Dieu, qui restait unique et transcendant.
En 1891, Cantor publia son célèbre 'argument diagonal' sous une forme généralisée, prouvant que l'ensemble des parties d'un ensemble est toujours strictement plus grand que l'ensemble lui-même. Cette démonstration, d'une simplicité déconcertante, implique qu'il existe une hiérarchie infinie d'infinis, chacun plus grand que le précédent — une idée vertigineuse que David Hilbert qualifia de 'paradis dont nul ne pourra nous chasser'.
Cantor mourut le 6 janvier 1918 dans le sanatorium de Halle où il avait passé ses dernières années, souffrant de malnutrition due aux pénuries alimentaires de la Première Guerre mondiale. Il n'avait jamais réussi à démontrer son hypothèse du continu — cette question resta ouverte jusqu'en 1963, quand Paul Cohen prouva qu'elle était indécidable dans les axiomes habituels des mathématiques.
Sources primaires
Je vais maintenant montrer que la multiplicité de tous les nombres réels algébriques peut être mise en correspondance biunivoque avec la multiplicité de tous les entiers naturels positifs. [...] En revanche, la multiplicité de tous les nombres réels ne peut pas être mise en correspondance de cette façon avec celle des entiers.
Par 'puissance' ou 'nombre cardinal' d'un ensemble M, j'entends le concept général qui, par abstraction, résulte de M lorsque l'on fait abstraction de la nature de ses différents éléments et de l'ordre dans lequel ils sont donnés.
Nous appelons 'ensemble' toute collection M en un tout d'objets m définis et bien distincts de notre intuition ou de notre pensée. Ces objets sont appelés les 'éléments' de M.
Voici une question qui m'intéresse depuis un certain temps déjà et à laquelle je ne peux pas répondre ; peut-être le pouvez-vous et auriez-vous la gentillesse de m'écrire votre opinion : Peut-on mettre en correspondance biunivoque une surface (par exemple un carré avec son contour inclus) avec une ligne (par exemple un segment de droite avec ses extrémités incluses) ?
Les nombres transfinis ω, ω+1, ω+2, ... , 2ω, ... ne sont pas de simples symboles, mais des concepts mathématiques bien définis, aussi légitimes que les nombres entiers finis, et soumis à des lois arithmétiques précises.
Lieux clés
Ville de naissance de Georg Cantor, le 3 mars 1845. Sa famille s'installe en Allemagne en 1856 pour des raisons de santé, mais Cantor gardera toute sa vie une certaine fierté de ses origines russes.
Cantor y étudie de 1863 à 1867, suivant les cours de Weierstrass et de Kronecker. Il y obtient son doctorat avec une thèse de théorie des nombres et y forge ses bases mathématiques rigoureuses.
Lieu de toute la carrière professorale de Cantor, de 1869 jusqu'à sa mort. C'est là qu'il développe l'intégralité de sa théorie des ensembles, malgré sa frustration de ne jamais obtenir de chaire à Berlin.
Sanatorium où Cantor est interné à plusieurs reprises à partir de 1884, souffrant de dépression sévère. Il y meurt le 6 janvier 1918, après un dernier séjour commencé en 1917.
Centre mathématique européen de l'époque, où enseignait David Hilbert — l'un des grands défenseurs de Cantor. C'est à Göttingen que les idées cantoriennes furent intégrées aux fondements des mathématiques modernes.
